情報システムにおけるユーザーグループの集合分析

解答と解説：

与えられた集合は以下の通りです。 $A = {\text{Alice, Bob, Carol, David, Eve, Frank}}$ $B = {\text{Bob, Carol, Grace, Heidi, Ivan, Judy}}$ $C = {\text{David, Eve, Frank, Grace, Heidi, Ken}}$

各問について順に計算します。

1. CRMとHRMの両方にアクセスできるユーザーの集合を求め、その要素数を答えなさい。 これは集合 $A$ と $B$ の積集合 $A \cap B$ を求める問題です。 $A \cap B = {\text{Alice, Bob, Carol, David, Eve, Frank}} \cap {\text{Bob, Carol, Grace, Heidi, Ivan, Judy}}$ 共通する要素は $\text{Bob}$ と $\text{Carol}$ です。 $A \cap B = {\text{Bob, Carol}}$ 要素数 $|A \cap B| = 2$

2. CRMにはアクセスできるが、HRMにはアクセスできないユーザーの集合を求め、その要素数を答えなさい。 これは集合 $A$ から集合 $B$ の要素を取り除く差集合 $A \setminus B$ (または $A - B$) を求める問題です。 $A \setminus B = {\text{Alice, Bob, Carol, David, Eve, Frank}} \setminus {\text{Bob, Carol, Grace, Heidi, Ivan, Judy}}$ $A$ に含まれ、$B$ に含まれない要素は $\text{Alice, David, Eve, Frank}$ です。 $A \setminus B = {\text{Alice, David, Eve, Frank}}$ 要素数 $|A \setminus B| = 4$

3. HRMまたはPMSの少なくとも一方にアクセスできるユーザーの集合を求め、その要素数を答えなさい。 これは集合 $B$ と $C$ の和集合 $B \cup C$ を求める問題です。 $B \cup C = {\text{Bob, Carol, Grace, Heidi, Ivan, Judy}} \cup {\text{David, Eve, Frank, Grace, Heidi, Ken}}$ 全てのユニークな要素を合わせると、 $B \cup C = {\text{Bob, Carol, David, Eve, Frank, Grace, Heidi, Ivan, Judy, Ken}}$ 要素数 $|B \cup C| = 10$ (確認: $|B|=6, |C|=6$ であり、共通要素は $B \cap C = {\text{Grace, Heidi}}$ なので $|B \cap C|=2$ です。 したがって、和集合の要素数は $|B \cup C| = |B| + |C| - |B \cap C| = 6 + 6 - 2 = 10$ となります。)

4. CRM、HRM、PMSのすべてのシステムにアクセスできるユーザーの集合を求め、その要素数を答えなさい。 これは集合 $A, B, C$ の積集合 $A \cap B \cap C$ を求める問題です。 まず問1で求めた $A \cap B = {\text{Bob, Carol}}$ を使います。 次に $(A \cap B) \cap C = {\text{Bob, Carol}} \cap {\text{David, Eve, Frank, Grace, Heidi, Ken}}$ この2つの集合に共通する要素はありません。 $A \cap B \cap C = \emptyset$ (空集合) 要素数 $|A \cap B \cap C| = 0$

5. CRMにはアクセスできるが、HRMとPMSのどちらにもアクセスできないユーザーの集合を求め、その要素数を答えなさい。 これは集合 $A$ から、$B$ の要素も $C$ の要素も取り除く問題です。集合演算では $A \setminus (B \cup C)$ と表現できます。 まず問3で求めた $B \cup C = {\text{Bob, Carol, David, Eve, Frank, Grace, Heidi, Ivan, Judy, Ken}}$ を使います。 次に $A \setminus (B \cup C) = {\text{Alice, Bob, Carol, David, Eve, Frank}} \setminus {\text{Bob, Carol, David, Eve, Frank, Grace, Heidi, Ivan, Judy, Ken}}$ $A$ に含まれ、$B \cup C$ に含まれない要素は $\text{Alice}$ のみです。 $A \setminus (B \cup C) = {\text{Alice}}$ 要素数 $|A \setminus (B \cup C)| = 1$

6. これらの3つのシステムのうち、いずれか1つのシステムにのみアクセスできるユーザーの集合を求め、その要素数を答えなさい。 これは、以下の3つの集合をそれぞれ求め、それらの和集合を計算する問題です。

   • $A$ のみにアクセスできるユーザー: $A \setminus (B \cup C)$
   • $B$ のみにアクセスできるユーザー: $B \setminus (A \cup C)$
   • $C$ のみにアクセスできるユーザー: $C \setminus (A \cup B)$

   各集合を計算します。

   • $A \setminus (B \cup C) = {\text{Alice}}$ (これは問5で計算済み) 要素数 1
   • $B \setminus (A \cup C)$: まず $A \cup C = {\text{Alice, Bob, Carol, David, Eve, Frank}} \cup {\text{David, Eve, Frank, Grace, Heidi, Ken}}$ $A \cup C = {\text{Alice, Bob, Carol, David, Eve, Frank, Grace, Heidi, Ken}}$ 次に $B \setminus (A \cup C) = {\text{Bob, Carol, Grace, Heidi, Ivan, Judy}} \setminus {\text{Alice, Bob, Carol, David, Eve, Frank, Grace, Heidi, Ken}}$ $B$ に含まれ、$A \cup C$ に含まれない要素は $\text{Ivan, Judy}$ です。 $B \setminus (A \cup C) = {\text{Ivan, Judy}}$ 要素数 2
   • $C \setminus (A \cup B)$: まず $A \cup B = {\text{Alice, Bob, Carol, David, Eve, Frank}} \cup {\text{Bob, Carol, Grace, Heidi, Ivan, Judy}}$ $A \cup B = {\text{Alice, Bob, Carol, David, Eve, Frank, Grace, Heidi, Ivan, Judy}}$ 次に $C \setminus (A \cup B) = {\text{David, Eve, Frank, Grace, Heidi, Ken}} \setminus {\text{Alice, Bob, Carol, David, Eve, Frank, Grace, Heidi, Ivan, Judy}}$ $C$ に含まれ、$A \cup B$ に含まれない要素は $\text{Ken}$ です。 $C \setminus (A \cup B) = {\text{Ken}}$ 要素数 1

   したがって、いずれか1つのシステムにのみアクセスできるユーザーの集合は、上記3つの集合の和集合です。 ${\text{Alice}} \cup {\text{Ivan, Judy}} \cup {\text{Ken}} = {\text{Alice, Ivan, Judy, Ken}}$ 要素数 $| {\text{Alice, Ivan, Judy, Ken}} | = 4$