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離散数学

データセンターネットワークの堅牢性分析

データセンター内のサーバー間接続ネットワークをグラフとしてモデル化し、その基本的な特性を分析します。特定のサーバー間の接続性、冗長性、そしてネットワーク障害に対する堅牢性をグラフ理論の概念を用いて評価します。

グラフ理論

データセンター内のサーバー間接続ネットワークをグラフとしてモデル化し、その基本的な特性を分析します。特定のサーバー間の接続性、冗長性、そしてネットワーク障害に対する堅牢性をグラフ理論の概念を用いて評価します。

データセンターネットワークの堅牢性分析

あるデータセンター内のサーバー間接続ネットワークは、以下のグラフ $G=(V, E)$ で表されます。 頂点 $V$ はサーバー、$E$ はサーバー間の物理的な接続（ケーブル）を表します。

$V = {S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6}$ $E = {{S_1, S_2}, {S_1, S_3}, {S_2, S_3}, {S_2, S_4}, {S_3, S_5}, {S_4, S_5}, {S_4, S_6}, {S_5, S_6}}$

以下の問いに答えなさい。

  1. 各サーバーの接続数（次数）を求めなさい。
  2. サーバー $S_1$ からサーバー $S_6$ への最短経路（辺の数が最小の経路）を一つ挙げ、その経路長（辺の数）を答えなさい。
  3. このネットワークが木（Tree）であるかどうかを判断し、理由を述べなさい。
  4. サーバー $S_3$ が故障し、ネットワークから切り離された場合を考えます。このとき、残りのサーバー $S_1, S_2, S_4, S_5, S_6$ だけで構成される部分グラフにおいて、サーバー $S_1$ からサーバー $S_6$ への経路は存在しますか？存在する場合は経路を一つ挙げ、存在しない場合はその理由を述べなさい。
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解答と解説

まず、与えられたグラフを図示して視覚的に理解しましょう。

S1 --- S2 --- S4 --- S6
|    / |    /  |
|   S3 --- S5 ---

（S1とS3、S2とS3、S3とS5、S4とS5、S5とS6は接続しています）

  1. 各サーバーの接続数（次数）を求めなさい。 次数 (degree) は、各頂点に接続している辺の数です。

    • $\text{deg}(S_1)$: $S_1$ に接続している辺は ${S_1, S_2}$ と ${S_1, S_3}$ の2本。 $\text{deg}(S_1) = 2$
    • $\text{deg}(S_2)$: $S_2$ に接続している辺は ${S_1, S_2}$, ${S_2, S_3}$, ${S_2, S_4}$ の3本。 $\text{deg}(S_2) = 3$
    • $\text{deg}(S_3)$: $S_3$ に接続している辺は ${S_1, S_3}$, ${S_2, S_3}$, ${S_3, S_5}$ の3本。 $\text{deg}(S_3) = 3$
    • $\text{deg}(S_4)$: $S_4$ に接続している辺は ${S_2, S_4}$, ${S_4, S_5}$, ${S_4, S_6}$ の3本。 $\text{deg}(S_4) = 3$
    • $\text{deg}(S_5)$: $S_5$ に接続している辺は ${S_3, S_5}$, ${S_4, S_5}$, ${S_5, S_6}$ の3本。 $\text{deg}(S_5) = 3$
    • $\text{deg}(S_6)$: $S_6$ に接続している辺は ${S_4, S_6}$ と ${S_5, S_6}$ の2本。 $\text{deg}(S_6) = 2$

    解答: $\text{deg}(S_1) = 2$ $\text{deg}(S_2) = 3$ $\text{deg}(S_3) = 3$ $\text{deg}(S_4) = 3$ $\text{deg}(S_5) = 3$ $\text{deg}(S_6) = 2$

  2. サーバー $S_1$ からサーバー $S_6$ への最短経路（辺の数が最小の経路）を一つ挙げ、その経路長（辺の数）を答えなさい。 考えられるいくつかの経路を列挙し、その経路長を比較します。

    • 経路1: $S_1 - S_2 - S_4 - S_6$ (経路長: 3)
    • 経路2: $S_1 - S_3 - S_5 - S_6$ (経路長: 3)
    • 経路3: $S_1 - S_2 - S_4 - S_5 - S_6$ (経路長: 4)
    • 経路4: $S_1 - S_3 - S_5 - S_4 - S_6$ (経路長: 4)

    最短経路は経路長3のものが複数存在します。

    解答: 最短経路の一つは $S_1 - S_2 - S_4 - S_6$ です。（または $S_1 - S_3 - S_5 - S_6$ も可） その経路長は 3 です。

  3. このネットワークが木（Tree）であるかどうかを判断し、理由を述べなさい。 木グラフの定義は「連結であり、かつ閉路（サイクル）を持たないグラフ」です。このグラフに閉路が存在するかを確認します。

    • $S_1 - S_2 - S_3 - S_1$ は閉路です。（辺の数3の閉路）
    • $S_2 - S_4 - S_5 - S_3 - S_2$ は閉路です。（辺の数4の閉路）
    • $S_4 - S_5 - S_6 - S_4$ は閉路です。（辺の数3の閉路）

    これらの閉路が存在するため、このグラフは木ではありません。

    解答: このネットワークは 木ではありません。 理由は、このグラフには閉路（サイクル）が存在するからです。例えば、$S_1 - S_2 - S_3 - S_1$ という閉路が見られます。木は閉路を持たない連結グラフであるため、これは木ではありません。

  4. サーバー $S_3$ が故障し、ネットワークから切り離された場合を考えます。このとき、残りのサーバー $S_1, S_2, S_4, S_5, S_6$ だけで構成される部分グラフにおいて、サーバー $S_1$ からサーバー $S_6$ への経路は存在しますか？存在する場合は経路を一つ挙げ、存在しない場合はその理由を述べなさい。

    $S_3$ が故障すると、$S_3$ に接続していた以下の辺が失われます。

    • ${S_1, S_3}$
    • ${S_2, S_3}$
    • ${S_3, S_5}$

    残りの頂点 $V’ = {S_1, S_2, S_4, S_5, S_6}$ と辺 $E’ = {{S_1, S_2}, {S_2, S_4}, {S_4, S_5}, {S_4, S_6}, {S_5, S_6}}$ で構成されるグラフを考えます。 この新しいグラフで $S_1$ から $S_6$ への経路を探します。

    • $S_1 - S_2 - S_4 - S_6$
    • $S_1 - S_2 - S_4 - S_5 - S_6$

    これらの経路は依然として存在します。

    解答: はい、サーバー $S_3$ が故障した場合でも、$S_1$ から $S_6$ への経路は存在します。 経路の一つとして $S_1 - S_2 - S_4 - S_6$ が挙げられます。 ($S_3$ の故障によって失われる辺は ${S_1, S_3}$, ${S_2, S_3}$, ${S_3, S_5}$ であり、上記の経路には影響がないためです。)

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