情報システムにおけるサーバーネットワークの経路分析

グラフ理論

情報システムにおけるサーバーネットワークの物理的な接続をグラフとしてモデル化し、その構造的特性を分析します。特に、ネットワークの連結性や特定のサーバー間の経路の有無、およびその種類を理解することで、システムの冗長性や障害耐性の設計に役立てます。

情報システムにおけるサーバーネットワークの経路分析

あるデータセンターのサーバーネットワークは、以下のグラフ $G=(V, E)$ で表されます。頂点 $V$ はサーバーを表し、辺 $E$ はサーバー間の直接的なネットワーク接続を表します。

$V = {S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6}$

$E = {{S_1, S_2}, {S_1, S_3}, {S_2, S_3}, {S_2, S_4}, {S_3, S_5}, {S_4, S_5}, {S_4, S_6}, {S_5, S_6}}$

以下の問いに答えなさい。

このグラフ $G$ の隣接行列 $A$ を作成しなさい。ただし、頂点の順序は $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6$ とします。
サーバー $S_1$ からサーバー $S_6$ への「単純パス」（同じ頂点を2度通らないパス）を全て列挙しなさい。
このネットワークにおいて、サーバー $S_4$ が完全にダウンし、それに関連する全ての接続（辺）も利用できなくなった場合、残りのサーバーネットワークは連結グラフですか？理由とともに答えなさい。

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隣接行列 $A$ の作成 隣接行列 $A$ は、$A_{ij}=1$ ならば頂点 $i$ と頂点 $j$ の間に辺が存在し、$A_{ij}=0$ ならば辺が存在しないことを示します。頂点の順序は $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, S_6$ とします。

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$S_1$ から $S_6$ への単純パスの列挙 $S_1$ から $S_6$ への、同じ頂点を2度通らないパスを全て列挙します。
- パス1: $S_1 \to S_2 \to S_4 \to S_6$
- パス2: $S_1 \to S_2 \to S_3 \to S_5 \to S_6$
- パス3: $S_1 \to S_3 \to S_5 \to S_6$
- パス4: $S_1 \to S_3 \to S_2 \to S_4 \to S_6$
他に単純パスがないか確認します。
- $S_1 \to S_2 \to S_3 \to S_x$ で $S_x$ は $S_5$ のみ。 $S_1 \to S_2 \to S_3 \to S_5 \to S_6$ は上記パス2。
- $S_1 \to S_3 \to S_2 \to S_x$ で $S_x$ は $S_4$ のみ。 $S_1 \to S_3 \to S_2 \to S_4 \to S_6$ は上記パス4。
- $S_1 \to S_3 \to S_5 \to S_x$ で $S_x$ は $S_4, S_6$ の2つ。 $S_1 \to S_3 \to S_5 \to S_6$ は上記パス3。 $S_1 \to S_3 \to S_5 \to S_4 \to S_6$ も単純パスです。
よって、以下の5つの単純パスが存在します。
1. $S_1 \to S_2 \to S_4 \to S_6$
2. $S_1 \to S_2 \to S_3 \to S_5 \to S_6$
3. $S_1 \to S_3 \to S_5 \to S_6$
4. $S_1 \to S_3 \to S_2 \to S_4 \to S_6$
5. $S_1 \to S_3 \to S_5 \to S_4 \to S_6$
サーバー $S_4$ ダウン時の連結性の判断 サーバー $S_4$ がダウンすると、頂点 $S_4$ およびそれに接続する辺 ${S_2, S_4}$, ${S_4, S_5}$, ${S_4, S_6}$ がグラフから削除されます。残りの頂点集合は $V’ = {S_1, S_2, S_3, S_5, S_6}$ となり、残りの辺集合は $E’$ となります。

$E’ = {{S_1, S_2}, {S_1, S_3}, {S_2, S_3}, {S_3, S_5}, {S_5, S_6}}$

この新しいグラフ $G’=(V’, E’)$ を確認すると、
- $S_1, S_2, S_3, S_5$ は互いにパスで結ばれています (例: $S_1 \leftrightarrow S_2 \leftrightarrow S_3 \leftrightarrow S_5$)。
- しかし、$S_6$ は頂点 $S_5$ にしか接続していません。つまり、$S_6$ と $S_5$ の間には辺 ${S_5, S_6}$ が存在します。
- これにより、$S_6$ は $S_5$ を介して他の全ての頂点 ($S_1, S_2, S_3$) とパスで結ばれます (例: $S_6 \to S_5 \to S_3 \to S_1$)。
したがって、残りのサーバーネットワークは連結グラフです。

理由: $S_4$ がダウンした後、残った頂点 $V’ = {S_1, S_2, S_3, S_5, S_6}$ の任意の2つの頂点間にはパスが存在します。例えば、$S_1$ と $S_6$ の間には $S_1 \to S_3 \to S_5 \to S_6$ というパスが存在します。 $S_2$ と $S_6$ の間には $S_2 \to S_3 \to S_5 \to S_6$ というパスが存在します。全ての頂点は直接的または間接的に連結されており、孤立した頂点や、到達不能な頂点のグループは存在しません。