情報システムにおけるユーザーの「同等」関係の分析

1. 関係 $R$ が反射的であるか

定義: 関係 $R$ が反射的であるとは、任意の $u \in U$ に対して $u R u$ が成り立つことです。

説明と判断: $u R u$ は「ユーザー $u$ とユーザー $u$ が少なくとも一つの共通のプロジェクトに参加している」ことを意味します。 問題文の前提として「各ユーザー $u \in U$ は、1つ以上のプロジェクトに参加している」とあります。したがって、ユーザー $u$ 自身が参加しているプロジェクトは、そのまま $u$ と $u$ が共通して参加しているプロジェクトとなります。 よって、任意のユーザー $u$ は少なくとも一つのプロジェクトに参加しており、そのプロジェクトは $u$ 自身との共通プロジェクトとみなせます。

したがって、関係 $R$ は反射的です。

2. 関係 $R$ が対称的であるか

定義: 関係 $R$ が対称的であるとは、任意の $u_1, u_2 \in U$ に対して、$u_1 R u_2$ ならば $u_2 R u_1$ が成り立つことです。

説明と判断: $u_1 R u_2$ は「$u_1$ と $u_2$ が少なくとも一つの共通のプロジェクトに参加している」ことを意味します。 これは、「$u_2$ と $u_1$ が少なくとも一つの共通のプロジェクトに参加している」ことと全く同じ意味です。どちらの表現も、2人のユーザーのプロジェクト参加状況を比較しているに過ぎません。

したがって、$u_1 R u_2$ が成り立つならば、$u_2 R u_1$ も必ず成り立ちます。 よって、関係 $R$ は対称的です。

3. 関係 $R$ が推移的であるか

定義: 関係 $R$ が推移的であるとは、任意の $u_1, u_2, u_3 \in U$ に対して、$u_1 R u_2$ かつ $u_2 R u_3$ ならば $u_1 R u_3$ が成り立つことです。

説明と判断: $u_1 R u_2$ は「$u_1$ と $u_2$ が少なくとも一つの共通のプロジェクト（例: $P_A$）に参加している」ことを意味します。 $u_2 R u_3$ は「$u_2$ と $u_3$ が少なくとも一つの共通のプロジェクト（例: $P_B$）に参加している」ことを意味します。

このとき、$u_1$ と $u_3$ が必ずしも共通のプロジェクトに参加しているとは限りません。$P_A$ と $P_B$ が異なるプロジェクトであり、$u_2$ が両方に参加しているものの、$u_1$ は $P_A$ のみに参加し、$u_3$ は $P_B$ のみに参加している場合を考えます。

反例:

• ユーザー集合 $U = {User1, User2, User3}$
• プロジェクト $P_1 = {User1, User2}$
• プロジェクト $P_2 = {User2, User3}$

1. $User1 R User2$: $User1$ と $User2$ は共通のプロジェクト $P_1$ に参加しています。
2. $User2 R User3$: $User2$ と $User3$ は共通のプロジェクト $P_2$ に参加しています。

しかし、$User1$ と $User3$ は共通のプロジェクトに参加していません。$User1$ は $P_1$ にのみ参加し、$User3$ は $P_2$ にのみ参加しています。 したがって、$User1 R User3$ は成り立ちません。

よって、関係 $R$ は推移的ではありません。

4. 以上の性質に基づき、関係 $R$ が同値関係であるか

定義: 関係が同値関係であるためには、以下の3つの性質をすべて満たす必要があります。

1. 反射的
2. 対称的
3. 推移的

判断: 上記1～3の分析により、関係 $R$ は反射的であり、対称的であることが確認されました。しかし、関係 $R$ は推移的ではないことが示されました。

同値関係であるためには、これら3つの性質をすべて満たす必要があるため、一つでも満たさない性質があれば同値関係ではありません。

したがって、関係 $R$ は同値関係ではありません。