情報システムにおけるユーザー間関係の性質分析

関係

情報システムにおけるユーザー間の関係性をモデル化し、その関係が同値関係や順序関係のどの性質を満たすかを分析する問題です。これにより、システム内のユーザーグループ化や権限階層の設計における関係の概念の応用を理解します。

情報システムにおけるユーザー間関係の性質分析

ある情報システムでは、システム管理を効率化するためにユーザー間の特定の関係性を定義しています。ユーザーの集合を $U = {A, B, C, D, E}$ とします。

以下の2つの関係 $R_1$ と $R_2$ について、それぞれが反射律、対称律、反対称律、推移律のどの性質を満たすかを特定し、それが「同値関係」であるか「順序関係」であるかを判断してください。

関係 $R_1$: 「アクセス権限の継承関係」 $u, v \in U$ について、$u R_1 v$ は「$u$ が $v$ のアクセス権限を継承する、または $u$ と $v$ のアクセス権限が同等である」ことを意味します。システムの設計により、この関係は以下の順序ペアとして表現されます。 $R_1 = {(A,A), (B,B), (C,C), (D,D), (E,E), (A,B), (A,C), (B,D), (C,D), (A,D)}$

関係 $R_2$: 「プロジェクト共同作業者関係」 $u, v \in U$ について、$u R_2 v$ は「$u$ と $v$ が共通のプロジェクトに所属している」ことを意味します。この関係は以下の順序ペアとして表現されます。 $R_2 = {(A,A), (B,B), (C,C), (D,D), (E,E), (A,B), (B,A), (C,D), (D,C)}$

解答を見る

関係 $R_1$: 「アクセス権限の継承関係」 $R_1 = {(A,A), (B,B), (C,C), (D,D), (E,E), (A,B), (A,C), (B,D), (C,D), (A,D)}$

反射律: 全ての $u \in U$ について $(u,u) \in R_1$ であるか確認します。与えられた $R_1$ には $(A,A), (B,B), (C,C), (D,D), (E,E)$ が全て含まれています。したがって、反射律を満たします。
対称律: 全ての $u,v \in U$ について、もし $(u,v) \in R_1$ ならば $(v,u) \in R_1$ であるか確認します。例えば、$(A,B) \in R_1$ ですが、$(B,A) \notin R_1$ です。したがって、対称律を満たしません。
反対称律: 全ての $u,v \in U$ について、もし $(u,v) \in R_1$ かつ $(v,u) \in R_1$ ならば $u=v$ であるか確認します。 $R_1$ には、異なる要素 $u \neq v$ について $(u,v)$ と $(v,u)$ の両方が含まれるペアは存在しません（例: $(A,B)$ はあるが $(B,A)$ はない）。自己ループ $(u,u)$ については $u=u$ なので条件を満たします。したがって、反対称律を満たします。
推移律: 全ての $u,v,w \in U$ について、もし $(u,v) \in R_1$ かつ $(v,w) \in R_1$ ならば $(u,w) \in R_1$ であるか確認します。
- $(A,B) \in R_1$ かつ $(B,D) \in R_1$ の場合、$(A,D)$ が $R_1$ に含まれるか確認します。$(A,D) \in R_1$ なので満たします。
- $(A,C) \in R_1$ かつ $(C,D) \in R_1$ の場合、$(A,D)$ が $R_1$ に含まれるか確認します。$(A,D) \in R_1$ なので満たします。他の可能な組み合わせも確認すると、全て条件を満たしています。したがって、推移律を満たします。

結論: $R_1$ は反射律、反対称律、推移律を満たしますが、対称律は満たしません。これらの性質から、$R_1$ は順序関係です。これは、情報システムにおけるアクセス権限の階層構造や包含関係（上位の権限が下位の権限を包含する）を表現するのに適しています。

関係 $R_2$: 「プロジェクト共同作業者関係」 $R_2 = {(A,A), (B,B), (C,C), (D,D), (E,E), (A,B), (B,A), (C,D), (D,C)}$

反射律: 全ての $u \in U$ について $(u,u) \in R_2$ であるか確認します。与えられた $R_2$ には $(A,A), (B,B), (C,C), (D,D), (E,E)$ が全て含まれています。したがって、反射律を満たします。
対称律: 全ての $u,v \in U$ について、もし $(u,v) \in R_2$ ならば $(v,u) \in R_2$ であるか確認します。
- $(A,B) \in R_2$ であり、$(B,A) \in R_2$ です。
- $(C,D) \in R_2$ であり、$(D,C) \in R_2$ です。すべての非自己ループペアについて対称なペアが存在するため、対称律を満たします。
反対称律: 全ての $u,v \in U$ について、もし $(u,v) \in R_2$ かつ $(v,u) \in R_2$ ならば $u=v$ であるか確認します。 $(A,B) \in R_2$ かつ $(B,A) \in R_2$ ですが、$A \neq B$ です。同様に $(C,D) \in R_2$ かつ $(D,C) \in R_2$ ですが、$C \neq D$ です。したがって、反対称律を満たしません。
推移律: 全ての $u,v,w \in U$ について、もし $(u,v) \in R_2$ かつ $(v,w) \in R_2$ ならば $(u,w) \in R_2$ であるか確認します。
- $(A,B) \in R_2$ かつ $(B,A) \in R_2$ の場合、$(A,A)$ が $R_2$ に含まれるか確認します。$(A,A) \in R_2$ なので満たします。
- $(A,B) \in R_2$ かつ $(B,B) \in R_2$ の場合、$(A,B)$ が $R_2$ に含まれるか確認します。$(A,B) \in R_2$ なので満たします。
- $(C,D) \in R_2$ かつ $(D,C) \in R_2$ の場合、$(C,C)$ が $R_2$ に含まれるか確認します。$(C,C) \in R_2$ なので満たします。この関係は ${A,B}$, ${C,D}$, ${E}$ という互いに素なグループ（同値類）を形成しており、異なるグループ間の関係はありません。したがって、例えば $(B,A) \in R_2$ かつ $(A,C)$ のような推移律の反例となるパスは存在しません。すべての可能な組み合わせについて確認すると、推移律は満たされます。したがって、推移律を満たします。

結論: $R_2$ は反射律、対称律、推移律を満たしますが、反対称律は満たしません。これらの性質から、$R_2$ は同値関係です。これは、情報システムにおいて、共通の属性（この場合はプロジェクト参加）に基づいてユーザーをグループ化するのに適しており、これらのグループは同値類として扱われます。この場合、同値類は ${A,B}$, ${C,D}$, ${E}$ となります。