情報システムにおけるユーザー関連性の関係論的分析

各関係の性質を評価する前に、ユーザー間の参加プロジェクトの共通性や包含関係、プロジェクト数を把握しておきましょう。

ユーザー $U = {u_1, u_2, u_3, u_4, u_5}$ $P(u_1) = {\text{P1, P2}}$ $P(u_2) = {\text{P1, P3}}$ $P(u_3) = {\text{P2}}$ $P(u_4) = {\text{P2, P3}}$ $P(u_5) = {\text{P4}}$

プロジェクト数: $|P(u_1)| = 2$ $|P(u_2)| = 2$ $|P(u_3)| = 1$ $|P(u_4)| = 2$ $|P(u_5)| = 1$

1. 関係 $R_1$: 「ユーザー $a$ とユーザー $b$ が共通のプロジェクトに少なくとも1つ参加している」($P(a) \cap P(b) \neq \emptyset$)

• 反射律 (Reflexivity):
  • 有。任意のユーザー $a \in U$ について、$P(a) \cap P(a) = P(a)$ です。すべてのユーザーは少なくとも1つのプロジェクトに参加しているため、$P(a) \neq \emptyset$ です。したがって、$a R_1 a$ が成り立ちます。
• 対称律 (Symmetry):
  • 有。もし $a R_1 b$ ならば、$P(a) \cap P(b) \neq \emptyset$ です。集合の共通部分は交換法則が成り立つため、$P(b) \cap P(a) \neq \emptyset$ も成り立ちます。したがって、$b R_1 a$ が成り立ちます。
• 反対称律 (Antisymmetry):
  • 無。例えば、$u_1 R_1 u_3$ ($P(u_1) \cap P(u_3) = {\text{P2}} \neq \emptyset$) かつ $u_3 R_1 u_1$ ($P(u_3) \cap P(u_1) = {\text{P2}} \neq \emptyset$) が成り立ちます。しかし、$u_1 \neq u_3$ です。したがって、反対称律は成り立ちません。
• 推移律 (Transitivity):
  • 無。例えば、$u_2 R_1 u_1$ と $u_1 R_1 u_3$ は成り立ちます。 $P(u_2) \cap P(u_1) = {\text{P1, P3}} \cap {\text{P1, P2}} = {\text{P1}} \neq \emptyset$ $P(u_1) \cap P(u_3) = {\text{P1, P2}} \cap {\text{P2}} = {\text{P2}} \neq \emptyset$ しかし、$u_2 R_1 u_3$ は成り立ちません。 $P(u_2) \cap P(u_3) = {\text{P1, P3}} \cap {\text{P2}} = \emptyset$ したがって、推移律は成り立ちません。
• $R_1$ は同値関係または順序関係のどちらに該当するか:
  • どちらにも該当しない。同値関係となるには反射律、対称律、推移律の全てを満たす必要がありますが、$R_1$ は推移律を満たしません。順序関係となるには反射律、反対称律、推移律の全てを満たす必要がありますが、$R_1$ は反対称律も推移律も満たしません。

2. 関係 $R_2$: 「ユーザー $a$ が参加する全てのプロジェクトに、ユーザー $b$ も参加している」($P(a) \subseteq P(b)$)

• 反射律 (Reflexivity):
  • 有。任意のユーザー $a \in U$ について、$P(a) \subseteq P(a)$ は常に成り立ちます。したがって、$a R_2 a$ が成り立ちます。
• 対称律 (Symmetry):
  • 無。もし $a R_2 b$ ならば $P(a) \subseteq P(b)$ ですが、$P(b) \subseteq P(a)$ が必ずしも成り立つとは限りません。 例: $P(u_3) = {\text{P2}}$、$P(u_1) = {\text{P1, P2}}$。 $P(u_3) \subseteq P(u_1)$ なので $u_3 R_2 u_1$ は成り立ちます。 しかし、$P(u_1) \not\subseteq P(u_3)$ なので $u_1 R_2 u_3$ は成り立ちません。
• 反対称律 (Antisymmetry):
  • 有。もし $a R_2 b$ かつ $b R_2 a$ ならば、$P(a) \subseteq P(b)$ かつ $P(b) \subseteq P(a)$ です。これは $P(a) = P(b)$ を意味します。与えられたユーザー集合 $U$ の中では、異なるユーザーが全く同じプロジェクト集合を持つことはありません（$P(u_i)$ は全て異なります）。したがって、$P(a) = P(b)$ が成り立つ場合、$a$ と $b$ は同一のユーザーである（$a=b$）と言えます。よって、反対称律が成り立ちます。
• 推移律 (Transitivity):
  • 有。もし $a R_2 b$ かつ $b R_2 c$ ならば、$P(a) \subseteq P(b)$ かつ $P(b) \subseteq P(c)$ です。集合の包含関係は推移律を満たすため、$P(a) \subseteq P(c)$ が成り立ちます。したがって、$a R_2 c$ が成り立ちます。
• $R_2$ は同値関係または順序関係のどちらに該当するか:
  • 順序関係。反射律、反対称律、推移律の全てを満たすため、$R_2$ は順序関係（より正確には半順序関係）です。

3. 関係 $R_3$: 「ユーザー $a$ が参加するプロジェクトの数が、ユーザー $b$ が参加するプロジェクトの数と同じである」($|P(a)| = |P(b)|$)

プロジェクト数: $|P(u_1)| = 2$ $|P(u_2)| = 2$ $|P(u_3)| = 1$ $|P(u_4)| = 2$ $|P(u_5)| = 1$

• 反射律 (Reflexivity):
  • 有。任意のユーザー $a \in U$ について、$|P(a)| = |P(a)|$ は常に成り立ちます。したがって、$a R_3 a$ が成り立ちます。
• 対称律 (Symmetry):
  • 有。もし $a R_3 b$ ならば $|P(a)| = |P(b)|$ です。これは $|P(b)| = |P(a)|$ と同値です。したがって、$b R_3 a$ が成り立ちます。
• 反対称律 (Antisymmetry):
  • 無。例えば、$|P(u_1)| = 2$ であり $|P(u_2)| = 2$ です。よって、$u_1 R_3 u_2$ かつ $u_2 R_3 u_1$ が成り立ちます。しかし、$u_1 \neq u_2$ です。したがって、反対称律は成り立ちません。
• 推移律 (Transitivity):
  • 有。もし $a R_3 b$ かつ $b R_3 c$ ならば、$|P(a)| = |P(b)|$ かつ $|P(b)| = |P(c)|$ です。これから $|P(a)| = |P(c)|$ が導かれます。したがって、$a R_3 c$ が成り立ちます。
• $R_3$ は同値関係または順序関係のどちらに該当するか:
  • 同値関係。反射律、対称律、推移律の全てを満たすため、$R_3$ は同値関係です。