ソフトウェアコンポーネントのバージョン互換性分析における関係の性質

1. 関係 $R$ が反射律を満たすかどうか

反射律の定義： 任意の $A \in V$ について、$(A, A) \in R$ である。

判断： 関係 $R$ は反射律を満たします。

理由： 任意のバージョン $A = vX.Y$ について考えます。

1. $A$ と $A$ は当然ながらメジャーバージョンが同じです。
2. $A$ と $A$ のマイナーバージョンの差の絶対値は $|Y - Y| = 0$ です。0は1以下であるため、条件2も満たします。 したがって、任意のバージョンはそれ自身と互換性があると言え、反射律は満たされます。

2. 関係 $R$ が対称律を満たすかどうか

対称律の定義： 任意の $A, B \in V$ について、もし $(A, B) \in R$ ならば、$(B, A) \in R$ である。

判断： 関係 $R$ は対称律を満たします。

理由： もし $(A, B) \in R$ であると仮定します。ここで $A = vX_A.Y_A$、$B = vX_B.Y_B$ とします。 $(A, B) \in R$ であることから、以下の条件が成り立ちます。

1. $X_A = X_B$ （メジャーバージョンが同じ）
2. $|Y_A - Y_B| \le 1$ （マイナーバージョンの差の絶対値が1以下）

次に $(B, A) \in R$ であるかを検証します。

1. $X_B = X_A$ は、条件1から明らかです。
2. $|Y_B - Y_A|$ は $|-(Y_A - Y_B)| = |Y_A - Y_B|$ となります。これも条件2から1以下です。 したがって、$(A, B) \in R$ が成り立つならば、$(B, A) \in R$ も必ず成り立ちます。よって対称律は満たされます。

3. 関係 $R$ が推移律を満たすかどうか

推移律の定義： 任意の $A, B, C \in V$ について、もし $(A, B) \in R$ かつ $(B, C) \in R$ ならば、$(A, C) \in R$ である。

判断： 関係 $R$ は推移律を満たしません。

理由： 推移律が成り立たない反例を示します。 $A = v1.0$、$B = v1.1$、$C = v1.2$ とします。

• $(A, B) \in R$ であるか： $A = v1.0$ と $B = v1.1$ は、メジャーバージョンが同じ ($v1$) であり、マイナーバージョンの差の絶対値は $|0 - 1| = 1$ で1以下です。したがって、$(v1.0, v1.1) \in R$ です。

• $(B, C) \in R$ であるか： $B = v1.1$ と $C = v1.2$ は、メジャーバージョンが同じ ($v1$) であり、マイナーバージョンの差の絶対値は $|1 - 2| = 1$ で1以下です。したがって、$(v1.1, v1.2) \in R$ です。

• $(A, C) \in R$ であるか： $A = v1.0$ と $C = v1.2$ は、メジャーバージョンが同じ ($v1$) です。しかし、マイナーバージョンの差の絶対値は $|0 - 2| = 2$ です。これは1より大きいため、条件2を満たしません。したがって、$(v1.0, v1.2) \notin R$ です。

$(v1.0, v1.1) \in R$ かつ $(v1.1, v1.2) \in R$ であるにもかかわらず、$(v1.0, v1.2) \notin R$ であるため、関係 $R$ は推移律を満たしません。

4. 関係 $R$ が同値関係であるかどうか

同値関係の定義： 関係が反射律、対称律、推移律の3つの性質をすべて満たす場合、それは同値関係である。

判断： 関係 $R$ は同値関係ではありません。

理由： 上記1～3の分析から、関係 $R$ は反射律と対称律は満たしますが、推移律を満たさないことが示されました。同値関係であるためには、これら3つの性質をすべて満たす必要があるため、関係 $R$ は同値関係ではありません。