情報システムの機能モジュールデプロイ設定の組合せ

この問題を解くために、包含と排除の原理を利用します。まず、全てのデプロイ設定の総数を求め、そこから各制約に違反する設定を排除していきます。

各モジュールは有効 (1) または無効 (0) の2つの状態を取るため、5つのモジュールがある場合、全てのデプロイ設定の総数は $2^5 = 32$ 通りです。

次に、各制約の違反パターンを集合として定義し、その要素数を計算します。

• $U$: 全てのデプロイ設定の集合 ($|U| = 32$)
• $C_1$: 最小モジュール数制約に違反する設定の集合 (有効モジュール数が2個以下)
• $C_2$: 依存性制約に違反する設定の集合 (モジュールAが有効で、かつモジュールBが無効)
• $C_3$: 排他性制約に違反する設定の集合 (モジュールCが有効で、かつモジュールDも有効)

求めたいのは、$|U| - |C_1 \cup C_2 \cup C_3|$ です。 包含と排除の原理により、 $|C_1 \cup C_2 \cup C_3| = |C_1| + |C_2| + |C_3| - (|C_1 \cap C_2| + |C_1 \cap C_3| + |C_2 \cap C_3|) + |C_1 \cap C_2 \cap C_3|$

1. 各違反集合の要素数を計算

$|C_1|$: 有効モジュール数が2個以下の設定

• 有効モジュールが0個の場合: $\binom{5}{0} = 1$ 通り (全て無効)
• 有効モジュールが1個の場合: $\binom{5}{1} = 5$ 通り
• 有効モジュールが2個の場合: $\binom{5}{2} = 10$ 通り $|C_1| = 1 + 5 + 10 = 16$ 通り。

$|C_2|$: モジュールAが有効かつモジュールBが無効な設定

• モジュールAを有効、モジュールBを無効と固定します。
• 残りの3つのモジュール (C, D, E) は自由に有効/無効を設定できます。 $2^3 = 8$ 通り。 $|C_2| = 8$ 通り。

$|C_3|$: モジュールCが有効かつモジュールDも有効な設定

• モジュールCを有効、モジュールDを有効と固定します。
• 残りの3つのモジュール (A, B, E) は自由に有効/無効を設定できます。 $2^3 = 8$ 通り。 $|C_3| = 8$ 通り。

2. 2つの違反集合の共通部分の要素数を計算

$|C_1 \cap C_2|$: (有効モジュール数が2個以下) かつ (Aが有効 & Bが無効)

• Aを有効、Bを無効と固定します。これで既に1つのモジュールが有効です。
• 残りの3つのモジュール (C, D, E) から、有効にするモジュールを0個または1個選びます (合計で1+0=1個または1+1=2個の有効モジュールにするため)。
  • {C, D, E} から0個選ぶ: $\binom{3}{0} = 1$ 通り ({A} のみ有効)
  • {C, D, E} から1個選ぶ: $\binom{3}{1} = 3$ 通り ({A,C}, {A,D}, {A,E} が有効) $|C_1 \cap C_2| = 1 + 3 = 4$ 通り。

$|C_1 \cap C_3|$: (有効モジュール数が2個以下) かつ (Cが有効 & Dも有効)

• Cを有効、Dを有効と固定します。これで既に2つのモジュールが有効です。
• 残りの3つのモジュール (A, B, E) から、有効にするモジュールを0個選びます (合計で2+0=2個の有効モジュールにするため)。
  • {A, B, E} から0個選ぶ: $\binom{3}{0} = 1$ 通り ({C,D} のみ有効) $|C_1 \cap C_3| = 1$ 通り。

$|C_2 \cap C_3|$: (Aが有効 & Bが無効) かつ (Cが有効 & Dも有効)

• Aを有効、Bを無効、Cを有効、Dを有効と固定します。
• 残りの1つのモジュール (E) は自由に有効/無効を設定できます。 $2^1 = 2$ 通り。 $|C_2 \cap C_3| = 2$ 通り。

3. 3つの違反集合の共通部分の要素数を計算

$|C_1 \cap C_2 \cap C_3|$: (有効モジュール数が2個以下) かつ (Aが有効 & Bが無効) かつ (Cが有効 & Dも有効)

• Aを有効、Bを無効、Cを有効、Dを有効と固定します。
• この時点で、A, C, Dの3つのモジュールが既に有効です。
• これは「有効モジュール数が2個以下」という条件に違反するため、この条件を満たす設定は存在しません。 $|C_1 \cap C_2 \cap C_3| = 0$ 通り。

4. 包含と排除の原理を用いて違反パターンの総数を計算

$|C_1 \cup C_2 \cup C_3| = |C_1| + |C_2| + |C_3| - (|C_1 \cap C_2| + |C_1 \cap C_3| + |C_2 \cap C_3|) + |C_1 \cap C_2 \cap C_3|$ $= 16 + 8 + 8 - (4 + 1 + 2) + 0$ $= 32 - 7 + 0$ $= 25$ 通り。

5. 全体から違反パターンを引いて最終的な答えを求める

全てのデプロイ設定の総数から、いずれかの制約に違反する設定の総数を引きます。 有効なデプロイ設定の総数 $= |U| - |C_1 \cup C_2 \cup C_3|$ $= 32 - 25 = 7$ 通り。

したがって、すべての制約を満たすデプロイ設定の総数は 7通り です。

参考：条件を満たす7つのデプロイ設定 (各モジュールの状態を (A,B,C,D,E) の順で「有効/無効」として表記し、有効なモジュール名も記載します)

1. (有効, 有効, 有効, 無効, 無効) - {A, B, C}
2. (有効, 有効, 無効, 有効, 無効) - {A, B, D}
3. (有効, 有効, 無効, 無効, 有効) - {A, B, E}
4. (有効, 有効, 有効, 無効, 有効) - {A, B, C, E}
5. (有効, 有効, 無効, 有効, 有効) - {A, B, D, E}
6. (無効, 有効, 有効, 無効, 有効) - {B, C, E}
7. (無効, 有効, 無効, 有効, 有効) - {B, D, E}